پایان نامه درباره
معادلهی، نمایش، همیلتونین

پایان نامه درباره معادلهی، نمایش، همیلتونین

ر کلی ادوات اپتوالکترونیک) با استفاده از این روش، تقریبهای متعددی جهت کاهش محاسبات به کار گرفته شده است.
4-2- فلوچارت247 کامل شبیهسازی
فلوچارت کلی(صرف نظر از جزییات) شبیهسازی در شکل ‏4-1 نمایش داده شده است. جزییات مراحل روش NEGF، در شکل ‏4-2 به صورت فلوچارتی جداگانه آمده است.
شکل ‏4-1- فلوچارت کلی شبیهسازی
شکل ‏4-2- فلوچارت روش NEGF (با جزییات)
4-3- تشکیل همیلتونین
همان طور که در فصل پیش بیان شد، روش فضای مود از نظر محاسباتی میتواند بسیار سبک تر از نمایش فضای حقیقی باشد؛ اما از آنجا که این شیوهی نمایش حالت تبدیل یافتهای از نمایش حقیقی همیلتونین است، در اینجا ابتدا همیلتونین را در فضای حقیقی تشکیل داده و سپس آن را به حالت مطلوب تبدیل میکنیم. لازم به ذکر است که منظور از همیلتونین در این بخش تنها همیلتونین کانال(به شکل ایزوله248) است و اثر اتصالات و درهمکنشالکترون- فوتون بعدا به آن افزوده خواهد شد.
4-3-1- همیلتونین در فضای حقیقی
وقتی از مدل تنگ-بست برای لحاظ نمودن ساختار نواری GNR استفاده میکنیم، در سادهترین حالت میتوان تنها همسایهی اول249 را در نظر گرفت و برای افزایش دقت، میتوان اثر همسایه سوم250 و همچنین اثر لبهها251 را نیز منظور نمود. ما در اینجا از اثر TNN صرف نظر نمودهایم.
همان طور که میدانیم شبکهی بلوری گرافن دارای دو نوع اتم است که معمولا به آنها زیر-شبکه252های نوع A و نوع B گفته میشود،شکل ‏4-3.
شکل ‏4-3- سلول یکه و پارامترهای مورد نیاز A-GNR نمونه برای استفاده در مدل تنگ-بست[97]
همان طور که در شکل بالا مشاهده میشود اتمهای نوع A و B به طور متناوب در جهت x با یکدیگر پیوند تشکیل دادهاند. بدین ترتیب اگر تعداد کل اتمهای کربن در GNR برابر با N باشد، همیلتونین دارای ابعاد N×N خواهد بود، رابطهی (‏4-1).
(‏4-1)
در این رابطه زیر-ماتریسهای [?i] با ابعاد (n/2)×(n/2) بیانگر پیوندهای درون خطوط اتمی253 A یا B در جهت عرض بوده و زیر-ماتریسهای [?] پیوندهای میان خطوط اتمی همسایه را توصیف میکنند[97].
از آنجا که ما در این جا از اثر دومین همسایه254 صرف نظر نمودهایم255، ماتریسهای [?i] قطری بوده و مقدار هر درایهی قطری برابر با پتانسیل الکتروستاتیک در موقعیت اتمی متناظر آن است. اما ماتریسهای [?]،مطابق شکل ‏4-3، به دو نوع [?1] و [?2] تقسیم میشوند. همان طور که از این شکل بر میآید، ماتریسهای [?1] قطری256 و [?2] دو قطری257 خواهد بود، معادلهی (‏4-2) و (‏4-3).
(‏4-2)
(‏4-3)
4-3-2- تبدیل همیلتونین به نمایش در فضای مود
از آنجا که عرضGNR بسیار کم است، میتوان زیر-نوارها را در این جهت از یکدیگر تفکیک نموده از نمایش mode-space استفاده نمود. برای این کار لازم است که توابع پایه در نمایش جدید را بشناسیم تا بتوان از آنها جهت تبدیل استفاده نمود. برای این کار باید معادلهی شرودینگر با شرایط مرزی بسته را در جهت عرض حل نمود.
اگر فرض شود که شرایط مرزی به صورت سدهای پتانسیل بینهایت باشد، که به آن مسئلهی ذره در جعبه258 هم گفته میشود،توابع پایهای مطابق معادلات (‏4-4)و (‏4-5) به ترتیب برای اتمهای نوع A و B به دست خواهد آمد[97].
(‏4-4)
(‏4-5)
که در این روابط i = 1,2,…,(n/2) اندیس اتمها در فضای حقیقی(در جهت عرض) و v = 1,2,…,(n/2) شمارهی مود،شکل ‏4-4، و n عرض GNR است. با توجه به مقادیر بالا میتوان از معادلهی (‏4-6) استفاده نموده و زیر-ماتریسهای [?i] ، [?1] و [?2] را به زیر-ماتریسهای متناظر در نمایش فضای مود، که همگی قطری هستند[97]، تبدیل نمود.
شکل ‏4-4- ارتباط میان نمایش در فضای حقیقی و فضای مود[97]
(‏4-6)
حال اگر پایهها را بر اساس پایههای مودها مرتب کنیم، ماتریس همیلتونین به صورت معادلهی (‏4-7) در میآید. که Hq همیلتونین q-اُمین مود بوده و از معادلهی (‏4-8) قابل محاسبه است[97].
(‏4-7)
(‏4-8)
در رابطهی بالا Ui،همان المان قطری ماتریس ?i’، پتانسیل الکتروستاتیک در i-اُمین اتم به ازای q-اُمین مود است. و b1q و b2q ،q-اُمین المان قطری ?1′ و ?2’،به ترتیب از معادلات (‏4-9) و (‏4-10) محاسبه میشوند[97].
(‏4-9)
(‏4-10)
با این تبدیل، همیلتونین هر یک از مودها دارای ابعاد n×n خواهد بود.
تا بدینجا فرض بر این بود که همهی پیوندهای کربنی در GNR مشابه یکدیگرند، در حالی که میدانیم طول پیوند در مرزها تا حدودی تغییر خواهد کرد[98] و به عنوان مثال اگر از هیدروژن برای پسیویشن259 استفاده شود، پیوندهای مرزی 12 درصد افزایش مییابند[]. در حالت کلی میتوان اثر لبهها را به صورت معادلهی (‏4-11) نمایش داد[97].
(‏4-11)
که ?t0 همان طور که گفته شد برای پیوند کربن-هیدروژن 0.12 بوده و اگر عرض GNR زوج در نظر گرفته شود، تنها در یک طرف آن اثر لبهها را خواهیم داشت،شکل ‏4-3؛ به همین دلیل در معادلهی بالا دو ماتریس برای هر یک از حالات نمایش داده شده است. در این حالت باید ابتدا تغییرات ماتریس ?1،معادلهی (‏4-11)، را اعمال نموده و پس از آن توابع پایه را تبدیل نمود،معادلهی (‏4-6). از آنجا که اثر لبهها تغییری در ماتریس ?2 ندارد، b2q نیز بدون تغییر خواهد ماند اما مقدار جدید b1q از معادلهی (‏4-12) به دست خواهد آمد[97].
(‏4-12)
4-4- خود-انرژی ناشی از اتصالات
محاسبهی خود-انرژی در فضای مود بسیار سادهتر از فضای حقیقی است، چرا که در اینجا توابع گرین سطحی اتصالات، عدد هستند نه ماتریس؛ و بنابراین به جای استفاده از الگوریتم بازگشتی260 برای حل معادلات (‏4-13) و (‏4-14)، کافی است یک دستگاه دو معادله و دو مجهولی را حل کنیم. از حل این دستگاه تابع گرین سطحی به دست خواهد آمد[97]،معادلهی (‏4-15).
(‏4-13)
(‏4-14)
(‏4-15)
معادلهی بالا مقدار تابع گرین سطحی در اتصال سمت چپ را نشان میدهد؛ برای اتصال سمت راست نیز میتوان به شکل مشابه از همین رابطه و با تغییر U1 به Unl ،با فرض این که طول کانال برابر با nl باشد، بهره برد.
شکل ‏4-5- نمایش اثر اتصالات بر کانال در نمایشهای فضای حقیقی و مود[97] و[99]
4-5- خود-انرژی ناشی از درهمکنش الکترون- فوتون
اگر فرض شود اثر درهمکنش الکترون- فوتون به شکل اختلال با همیلتونین اصلی جمع شود،مطابق تئوری اختلال، آنگاه میتوان از معادلهی (‏4-16 برای محاسبهی آن استفاده نمود[99].
(‏4-16)
در این رابطه p عملگر تکانه261ی الکترون و A عملگر پتانسیل بردار مغناطیسی262 نور تابشی بوده و با استفاده از مفاهیم کوانتش دوم263 به صورت معادلهی(‏4-17) بیان میشود[99].
(‏4-17)
جهت بردار A وابسته به پلاریزاسیون264 موج الکترومغناطیسی است که در معادلهی بالا به صورت a ظاهر شده است و I?، N?، ?، ? و c به ترتیب شدت تابش، تعداد فوتون، فرکانس فوتون، ضریب گذدرهی الکتریکی محیط و سرعت نور را نشان میدهند. با استفاده از معادلهی (‏4-18) برای عملگر p میتوان همیلتونین درهمکنش را به شکل معادلهی (‏4-19) بازنویسی نمود.ماتریس M265 در این معادله بیانگر جفتشدگی الکترون-فوتون بوده و از معادلهی (‏4-20) قابل محاسبه است[99].
(‏4-18)
(‏4-19)
(‏4-20)
سرانجام میتوان از معادلهی (‏4-21) برای محاسبهی توابع پراکندگی[99] ، معادلهی (‏4-22) جهت به دست آوردن تابع پهنشدگی و معادلهی (‏4-23) به منظور دست یابی به خود-انرژی ناشی از فوتونها پرداخت[96] .
(‏4-21)
(‏4-22)
(‏4-23)
4-6- چالشهای محاسباتی در شبیهسازی عددی
از آنجا که محاسبهی خود-انرژی فوتونها باید به شکل خود-سازمانده انجام پذیرد، نیاز به یک حلقهی تکرار داریم که در هر تکرار یک مرتبه خود-انرژی، توابع همبستگی، توابع پراکندگی و تابع گرین را به دست آورد. ضمن این که مطابق معادلهی (‏4-21) توابع پراکندگی غیر الاستیک بوده و در نتیجه به مقادیر شیفت یافتهی تابع همبستگی وابستهاند. معنی این جمله این است که باید ماتریسهای Gn و Gp را به ازای همهی انرژیها داشته باشیم.
پس از این که حلقهی محاسبهی خود-انرژی به همگرایی رسید، اگر حل کنندهی شرودینگر-پواسون266 به همگرایی نرسد باید توزیع بار را مجددا به دست آورده و در معادلهی پواسون وارد نمود. لازم به یادآوری است که خود معادلهی پواسون به علت غیر خطی بودن باید به وسیلهی یک روش تکرار مثل نیوتن-رافسون حل شود.
اما اگر حل کنندهی شرودینگر-پواسون به همگرایی رسید، نوبت به تکرار همهی این محاسبات برای گامهای بعدی انرژی میرسد. حال اگر مجددا به بخش محاسبهی خود-انرژی در NEGF بازگشته و معادلهی (‏4-21) را مورد دقت قرار دهیم، خواهیم دید که به ازای هر درایهی ماتریس پراکندگی باید از چهار حلقهی تو در تو برای متغیرهای l ، m ، p و q استفاده نمود که هر یک از آنها از عدد 1 تا شمارهی آخرین گره در جهت طول را خواهند شمرد267. و با افزایش طول با هر نسبت مشخصی، محاسبات این بخش در توان چهارم آن نسبت ضرب خواهد شد.
4-7- راه حلهای ممکن جهت عبور از چالشهای محاسباتی
برای کاهش حجم محاسبات، یک راهحل استفاده از تقریب محلی(قطری)268 در محاسبهی خود-انرژی ناشی از فوتونهاست[99]. بدین ترتیب به جای داشتن 4 حلقهی تو در تو به 2 دو حلقه نیازمندیم و حجم محاسبات به جذر حالت قبل کاهش خواهد یافت.
در یک شبیهسازی نمونه[99,100] نشان داده شده است که تقریب مذکور تنها 4% فوتو-جریان را احصا خواهد نمود به همین دلیل معمولا علاوه بر درایههای قطر تعداد معدودی از درایههای غیر قطری را نیز در محاسبات وارد میسازند[101].
همچنین برای حذف حلقهی بیرونی (شرودینگر-پواسون) میتوان از پروفایل آمادهی پتانسیل[102] استفاده نمود؛ بدین ترتیب دیگر نیازی به حل مجدد معادلهی پواسون و پایبندی به همگرایی شرودینگر-پواسون نخواهد بود. برای این کار میتوان ابتدا بدون در نظر گرفتن اثر فوتونها شبیهسازی را انجام داده و پس از همگرایی حلقهی شرودینگر-پواسون، پروفایل پتانسیل را ذخیره نموده و در شبیهسازی اصلی از آن بهره جست. در یک کار نمونه خطای 5% برای این تقریب گزارش شده است[103].
فصل 5- نتایج شبیهسازی
5-1- مقدمه
همان طور که در فصل قبل اشاره شد، اگر بخواهیم یک سلول خورشیدی را با استفاده از روش NEGF در پایههای نمایش مود با تقریب قابل قبولی شبیهسازی کنیم، حجم محاسبات بسیار بسیار بالا خواهد بود و در نتیجه بکارگیری تکنیکهای متعدد تسریع محاسبات عددی و همچنین استفاده از الگوریتمهای پردازش موازی غیر قابل اجتناب خواهد بود. به همین دلیل در معدود مقالات موجود در این زمینه معمولا از تقریب درهمکنش محلی269 (یا همان تقریب قطری ماتریس خود-انرژی) استفاده شده و یا این که برای بالاتر بردن دقت محاسبات، چند ردیف از درایههای غیر قطری270 را نیز منظور نمودهاند.
ما نیز در این پژوهش از تقریب قطری استفاده نمودهایم. و به ازای AGNR با طول حدود 15nm و عرضی نزدیک به 0.6nm (یعنی با 6 سلول یکه در راستای عرض) و با فرض این که تمام قطعه تحت تابش است، شبیهسازی خود را انجام دادهایم.
5-2- نتایج شبیهسازی
مطابق آنچه در فصل پیش بیان شد، یکی دیگر از راه حلهای کاهش محاسبات، استفاده از پروفایل آمادهی پتانسیل است که یک تقریب قابل قبول محسوب میشود. بر همین مبنا ما در این پژوهش برای به دست آوردن هر نقطه از منحنی جریان- ولتاژ، ابتدا شبیهسازی را در حالت تاریکی انجام داده و پروفایل پتانسیل را ذخیره نمودهایم، شکل ‏5-1. سپس در حالت تحت تابش، پروفایل ذخیره شده را به کار بردهایم. اگر فرض شود به طور متوسط برای هر نقطهی بایاس 5 تکرار جهت همگرایی حلقهی پواسون-شرودینگر نیاز داریم، با این تقریب سرعت محاسبات را 5 برابر

مطلب مرتبط :   پایان نامه رایگان درمورددوسوگرا، ازدواج مجدد
برای دانلود متن کامل فایل این  پایان نامه می توانید  اینجا کلیک کنید

دیدگاهتان را بنویسید

Close Menu